البرز آذرنگ

گوییم توسیع حلقه‌ای R⊆S ، FIP–توسیع است، هرگاه تعداد حلقه‌های بین R و S متناهی باشد. و گوییم توسیع حلقه‌ای R⊆S ، FCP-توسیع است، هرگاه هر زنجیر از حلقه‌ها بین R و S متناهی باشد. رده‌بندی‌های معادل متعددی از خواص FIP و FCP داده شده است. هم‌چنین برخی از نتایج FCP ، از دامنه‌ها به حلقه‌های تعویض‌پذیر دلخواه تعمیم داده شده است. فرض کنیم R⊆S توسیعی از حلقه‌ها و ̅R ، بستار صحیح R درS باشد. نشان می‌دهیم R⊆S ، FIP-توسیع (به‌ طور مشابه، FCP -توسیع) است اگر و تنها اگر R ⊆ ̅R ⊆S ̅R ، FIP -توسیع(به طور مشابه، FCP -توسیع) باشند. چنان‌چه R درS توسیع بسته‌ی صحیح باشد، آن‌گاه R⊆S ، FIP -توسیع است اگر وتنها اگر R⊆S ، FCP -توسیع باشد اگر و تنها اگر(R, S) زوج نرمال و Supp(S / R) متناهی باشد. هرگاه R⊆S توسیع صحیح با هادی C باشد، آن‌گاه R⊆S ، FCP -توسیع است اگر وتنها اگر S یک R -مدول متناهی تولید شده و R / C حلقه‌ای آرتینی باشد.

در جبر تعویض‌پذیر می‌دانیم که حلقهR نوتری است اگر و تنها اگر هر ایدال اول آن متناهی مولد باشد (که به قضیه کوهن معروف است). هم‌چنین حلقه نوتری R یک حلقه ایدال اصلی است اگر و تنها اگر هر ایدال ماکسیمالR اصلی باشد (که به قضیه کاپلانسکی معروف است). بنابراین با ترکیب دو قضیه به این قضیه‌ی درحلقه‌های تعویض پذیر می رسیم، که حلقه‌یR یک حلقه ایدال اصلی است اگر و تنها اگر هر ایدال اول ازR اصلی باشد، که آن را قضیه‌ی کوهن-کاپلانسکی می‌نامیم. هدف اصلی در این پایان‌نامه تعمیم این قضیه و قضیه ‌های کوهن و کاپلانسکی به حلقه‌های تعویض‌ناپذیر می‌باشد. در این راستا ابتدا به تعریف ایدال‌های راست کاملا اول پرداخته و سپس به تعمیم دو قضیه‌ایی که در ابتدا بیان نموده‌ایم، با استفاده از جایگزینی ایدال راست کاملا اول به جای ایدال‌های اول در حلقه‌های تعویض‌پذیر، به حلقه‌های تعویض‌ناپذیر خواهیم پرداخت. هم‌چنین تعریفی از مجموعه‌ی پوچ‌ساز نقطه‌ایی را ارائه می‌دهیم و با استفاده از این مجموعه تعمیم تعویض‌نا‌پذیری از قضیه‌ی کوهن - کاپلانسکی را بیان می‌کنیم.
در پایان نشان می‌دهیم که هرگاه R یک حلقه نیم‌اول با بعد کرول راست حداکثر 1باشد آن‌گاهR یک حلقه ایدال راست اصلی است اگر و تنها اگر هر ایدال راست ماکسیمال R اصلی باشد.
 

 در سرتاسر این پایان نامه تمای حلقه‌ها تعویض پذیر و یکدارند و زیر حلقه‌ها دارای همانی یکسان با خود حلقه می‌باشند. هر گاه یک توسیع از حلقه‌های تعویض پذیر باشند، آنگاه این توسیع را توسیع مینیمال می‌نامیم، هر گاه بین R و S زیر حلقه دیگری از S نباشد. بوضوح در چنین شرایطی یا R در S بسته صحیح است که در این حالت توسیع را توسیع بسته صحیح مینیمال می‌نامیم و یا S روی R صحیح می‌باشد که در این حالت، توسیع را توسیع مینیمال صحیح می‌نامیم. هدف اساسی در این پایان نامه، بررسی توسیع‌های مینیمال صحیح است. به طور مثال، نشان خواهیم داد که در این حالت ایدال ماکسیمال از R است. اگر M، دارای پوچساز غیر صفر در S نباشد، آنگاه نشان خواهیم داد که S یکریخت با زیر حلقه‌ای از R در است، که در آن حلقه‌ی کامل کسرهای R نسبت به مجموعه ضربی تمام عناصر منظم R است. برعکس، اگر M دارای پوچساز ناصفر در S باشد، آن‌گاه S نمی‌تواند با زیر حلقه‌ای از R در یکریخت باشد، مشخصه‌سازی کاملی از توسیع‌های مینیمال یک حلقه کاهش یافته را ارائه خواهیم داد. همچنین مثال‌های مخنلفی از توسیع‌های مینیمال صحیح را برای هر چه واضح‌تر شدن هدف‌های پایان‌نامه ارائه خواهیم داد.

فرض می کنیم خانواده ای از حلقه های جابه جایی باشد در این پایان نامه به مطالعه و بررسی خانواده متشکل از تمام زیر حلقه های آرتینی می پردازد هم چنین در جستوجوی پاسخی برای این پرسش هستیم که اگر هر یک زوج صفر بعدی باشد تحت چه شرایطی زوج نیز یک زوج صفر بعدی است.

چکیده: در این پایان‌نامه ابتدا به بررسی حوزه‌های تجزیه یکتا و حوزه‌های تجزیه می‌پردازیم. حوزه تجزیه R را حوزه نیم‌تجزیه (HFD) گوییم، اگر برای هر عنصر غیرصفر غیریکه داشته باشیم a₁a₂…a_n=b₁b₂…b_m، به‌طوری که a_iها وb_jها در R تحویل‌ناپذیر باشند، آن‌گاه n=m. سپس ویژگی‌های حوزه‌های نیم‌تجزیه را مورد بررسی قرار می‌دهیم. هم‌چنین حوزه تجزیه R را OHFD می‌نامیم، اگر a₁a₂…a_n=b₁b₂…b_n ، که در آن a_i ها وb_j ها در R تحویل‌ناپذیر باشند، آن‌گاه هر کدام از عناصر a_i ها حداقل با یکی از عناصر b_j ها شریک باشد. در پایان نشان می‌دهیم حوزه‌های OHFD با حوزه‌های تجزیه یکتا معادل هستند.

فرض کنیم R یک حلقه ی تعویض پذیر نوتری کاهش یافته باشد. در این پایان نامه هدف بررسی شرایط معادل است که تحت آن، مدول های متناهی مولد روی R تجزیه کامل داشته باشند. به طور مثال نشان می دهیم که هرگاه R تک بعدی و در خاصیت کرول-اشمیت برای ایدآل ها صدق کند، آن گاه هر زبرحلقه(روحلقه) از آن در ویژگی گفته شده در بالا صدق می کند. همچنین نشان می دهیم که هرگاه R موضعی و تک بعدی باشد و در خاصیت کرول-اشمیت برای ایدآل ها صدق کند، آن گاه خاصیت کرول-اشمیت برای مجموع مستقیم مدول های با رتبه یک نیز برقرار است.

در سرتاسر این پایان نامه تمامی حلقه ها تعویض پذیر و یکدار هستند. اگر R یک حلقه و b در R ناصفر و نایکه باشد آنگاه b را یک عضو شبه تحویل ناپذیر گوییم هر گاه نتوان آن را به صورت b=cd که c و d متباین و نایکه اند نوشت. عضو ناصفر و نایکه b دارای یک تجزیه ی متباین کامل است هر گاه بتوان آن را به صورت b=b1b2........bm نوشت که در آن biها دو به دو متباین وهر bi شبه تحویل ناپذیر است. دامنه ی صحیح R را یک دامنه ی تجزیه ی متباین (CFD) گوییم هر گاه هر عضو ناصفر و نا یکه از R دارای تجزیه ی متباین کامل باشد. دامنه ی تجزیه ی متباین یکتا (UCFD) نیز به طور مشابه تعریف می شود.در این پایان نامه نشان می دهیم هر دامنه ی نویتری (و هر UFD) یک CFD است. همچنین شرایط لازم و کافی برای اینکه یک CFD یک UCFD باشد را بررسی خواهیم کرد و در ادامه شرایط لازم و کافی برای UCFD بودن را بین R و حلقه ی چند جمله ای ها را بیان خواهیم کرد. سپس به رابطه ی UCFD بین دامنه های R و R/P که P یک ایدال اول از دامنه ی R است می پردازیم. در آخر تجزیه ی ایدال های حلقه ی R را تعمیم خواهیم داد.

چکیده:
مفهوم مدول‌های ریکارت به‌تازگی تعریف شده است. نشان داده شده است که مجموع مستقیممدول‌های ریکارت در حالت کلی یک مدول ریکارت نیست. حال در این پایان‌نامه به بررسی این سوالمی‌پردازیم که، چه موقع مجموع مستقیم مدول‌های ریکارت یک مدول ریکارت است؟ نشان می‌دهیماگر برای هر i<j ∈I={1 ,2 ,…,n } ، مدول M_i ، M_j- انژکتیو باشد، آن‌گاه ⨁_(i=1)^n M_i یک مدولریکارت است اگر و تنها اگر برای هر i,j ∈I ، مدول M_i ، M_j- ریکارت باشد. نتیجه می‌گیریم که اگر مدول M ، توسیعی و ناتکین باشد، آن‌گاه E(M)⨁M یک مدول ریکارت است. هم‌چنین بررسی می‌کنیم چه موقع کلاسی از مدول‌های آزاد روی حلقه R ریکارت می‌باشد. در ادامه نشان می‌دهیم که هر -R مدول آزاد متناهی تولید شده ریکارت است اگر R ، حلقه نیم‌ساده باشد. به عنوان یک کاربرد نشان می‌دهیم که دامنه تعویض‌پذیر R ، پروفر است اگر و تنها اگر -R مدول آزاد R^((2)) ریکارت باشد. با مثالی برای مدول M ، نشان می‌دهیم که M^((2)) ، ریکارت است ولی M^((3)) ، ریکارت نیست. به علاوه حلقه‌های منظم فون‌نیومان را برحسب مدول‌های ریکارت مشخص می‌کنیم. در آخر نشان می‌دهیم کلاسی از حلقه‌های R که هر -R مدول راست متناهی هم‌تولید شده ریکارت باشد، -V حلقه‌های راست می‌باشد.
 

R را بعنوان حلقه در نظر می گیریم را یک مقسوم علیه ضعیف می نامیم اگر وجود داشته باشد که باشد و .این مطلب نشان می دهد که در هر حلقه R اعضایی از یک ایدآل اول مینیمال هستند مثال هایی وجود دارند که نشان می دهند ایدآل اول مینیمال یک حلقه می تواند شامل عناصری باشد که نه مقسوم علیه صفر چپ اند و نه مقسوم علیه صفر راست . در این مقاله نشان می دهیم که درهر حلقه مانند R ، عناصر یک ایدآل اول مینیمال ، مقسوم علیه صفر ضعیف هستند . هم چنین ، در این مقاله ، اجتماع ایدآل اول مینیمال در یک حلقه ی 2 – اولیه و اجتماع ایدآل های قویاً اول مینیمال در NI – حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته است .همه حلقه ها در این مقاله یکدار درنظر گرفته شده اند (R) ، به ترتیب نشان دهنده رادیکال اول ، بزرگترین ایدآل پوچ R ومجموع همه عناصر پوچ توان R هستند